Etude de fonction en classe de 2de (et plus).

Remarque : si vous n’avez pas installé le programme de liaison Calculatrice-Ordinateur (TI GraphLink ou TI Connect), vous devez installer les polices particulières à la calculatrice pour lire les caractères spéciaux que vous trouverez dans le texte (si des caractères incompréhensibles s’affichent pour les séquences d’appuis sur les touches, vous savez d’où ça vient !). Télécharger les polices et les installer : (fichier zippé contenant le mode d'emploi).

I. Fonction polynôme : ce qui est généralement demandé pour une fonction de ce type, et comment utiliser , à bon escient, sa calculatrice.

Cette première étude porte sur la fonction polynôme définie sur I=[-3 ; 3] par

Remarque : la fonction ne comporte ni dénominateur, ni racine (ni fonction ln pour les élèves de tale), elle est donc définie sur R.

Questions :

1. Sur I tableau de valeurs par pas de 0,5 de f(x).

2. Sur I faire la représentation graphique de Cf courbe représentative de f.

3. A l’aide de la calculatrice rechercher la valeur des extréma. Faire un tableau de variations de f sur I.

4. Donner sur I le nombre de solutions de l’équation f(x)=0. Donner une approximation à 10-2 près par défaut de la (ou des) solution(s) de cette équation.

5. Sur I, nombre de solutions et valeur(s) approchée(s) à 10-2 près par défaut, de la (ou des) solution(s) de l’équation f(x)=1.

Réponses :

1. Tableau de valeurs…

Commencer par entrer la formule de définition de la fonction :

Appuyer sur la touche o , et remplir comme l’écran à droite.

La puissance s’écrit avec le petit chapeau (touche au dessus de +, -, etc.).

Puis régler le paramétrage d’affichage du tableau :

Appuyer sur les touches y p pour TBLSET.
La première valeur correspond à la première valeur demandée, la suivante au pas utilisé.

Il n’y a plus qu’à recopier les valeurs dans un tableau… non, la calculatrice ne le fait pas pour vous !
Utiliser la flèche vers le bas † pour la suite des valeurs.

Ne pas oublier que les valeurs sont demandées à 10-2 près par défaut. Vérifier que le mode choisi est d’au moins trois décimales (j’ai choisi FLOAT dans l’écran z ).

x

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

f(x)

-7

-2,13

0

0,12

-1

-2,63

-4

-4,38

-3

0,87

8

19,12

35


La lecture de ces valeurs donne une indication des variations de la fonction.
Il nous faut rechercher quelles sont les plus grande et plus petite valeurs de la fonction du tableau. –7 pour la plus petite et 35 pour la plus grande. Ce que nous allons utiliser pour paramétrer la fenêtre d’affichage de la courbe.
Nous pouvons constater que f(-2)=0 qui est donc une partie de réponse à la question 4.

2. Représentation graphique :

Appuyer sur p .
En général des valeurs sont déjà choisies " en standard ".

Les changer comme l’écran ci-contre.
Ne pas s’occuper de Xscl (petite marque sur l’axe des x tous les combien), Yscl (idem y) ni Xres (points calculés pour affichage plus ou moins éloignés).

Appuyer alors sur s .
Voici la représentation graphique demandée.

Nous remarquons qu’un maximum relatif se trouve entre –2 et –1, et un minimum (relatif aussi) se trouve entre 0 et 1.
Remarque : il n'est pas inutile de regarder d'un peu plus près ce qui se passe du côté de l'axe des abscisses.

Appuyer sur p .
Remplir comme indiqué.

Cela permet de voir que la courbe passe au dessus puis en dessous de l'axe des abscisses entre -2 et -1.

 

3. Maxi et mini :

La recherche d’extremum (maxi ou mini) se fait AVANT de tracer la courbe QUAND on a les outils pour le faire. Ils font défaut en classe de seconde… (calculs possibles sur de " petites fonctions ").

y r permet de passer en mode CALC.
Choix .
Valider par la touche Í .

Il est demandé depuis quelle valeur de x il faut chercher.

D’après ce qui précède, il suffit de choisir –2, ou toute valeur approchée. On peut utiliser les flèches gauche ou droite | ~ .

Sur les 83 on peut entrer cette valeur directement au clavier. Plus simple !

Valider par Í .

Valeur jusqu’où chercher (vers la droite).
Environ –1, que j’ai choisi en me déplaçant avec les flèches. Valider... (oui, Í  !).

Ne pas chercher à comprendre (ouvrez le manuel à la bonne page…). Il suffit de valider.

Et voilà le maximum.
C’est une valeur approchée.

Maxi relatif 0,26 pour x=-1,72.


On recommence pour le minimum. Je ne devrais même plus avoir à écrire quelles touches utiliser…

y r et choix  .

Directement je passe à la valeur 0 environ (soit avec les flèches, soit en entrant la valeur au clavier).
Et Í .

J’appuie sur À (puis sur Í œuf Corse).

Directement, " je passe " donc Í .

Et voici la valeur du minimum (relatif). C’est une approximation.
mini relatif –4,41 pour x=0,38.

Pour ceux qui peuvent faire LE calcul,

Il reste à faire le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle demandé. La TI 83 ne le fait pas.
Je donne le tableau de variations obtenu sur une V200 (ou 89 ou 92) avec le programme "etude". Cela m'évite de devoir le faire "à la main" (ou avec un logiciel de dessin).

Les valeurs sont des approximations, qu'il faut reprendre en fonction de ce que l'énoncé demande.
Par exemple, nous avons trouvé 0,26 (et non 0,3) pour le maximum relatif en x=-1,72 (pas -1,7).

4. Résolution de f(x)=0 :

f(x)=0, c’est lorsque la courbe coupe l’axe des abscisses, et c’est très semblable à la recherche de mini ou maxi.
D’après la courbe, trois valeurs sont solution. L’une est connue (voir ci-dessus, tableau de valeurs).

y r et choix Á , (puis sur Í , ce que je n’écrirai plus).

Nous connaissons –2. C’est à peine plus loin. JE choisis –1,5 pour valeur de départ de la recherche.
Ce choix se fait à partir de la courbe affichée sur l’écran de ma calculatrice.

Et –1 comme valeur maximale.

Je passe !

Première réponse (et donc deuxième valeur !) c’est une approximation x=–1,41.

Recommencer pour la dernière solution.

Sans commentaires !

Sans commentaires !

(et je saute une étape).

Voici la troisième solution.
x=1,41. C’est une approximation.

On peut vérifier que la valeur exacte des deux solutions est connue…

Et j’écris : , ou si j'en reste aux approximations.


5. Résolution de f(x)=1 :

Nous sommes supposés ne pas savoir résoudre une équation du troisième degré (déjà que le second degré n’est plus d’actualité en seconde…). L’astuce est de demander à sa calculatrice.
C’est lorsque la courbe rencontre la droite d’équation y=1. Donc, il faut demander de tracer cette droite.

Touche o , ajouter ce qu’il faut !

Puis s .
C’est pas très visible ni lisible. On pourrait penser qu’il se trouve plusieurs solutions.
Je change la fenêtre d’affichage.

Comme ci-contre.

C’est mieux.
Une seule solution.

Je passe en mode r , ce qui permet d’obtenir une valeur approximative de ce qui est recherché.
x=1,5 très environ.

y r et choix · , (puis sur Í , ce que je n’écris plus…).

Il suffit de valider (Í ).
Remarque : j’ai commencé par un petit déplacement vers la gauche (flèche ), car je préfère prendre une valeur AVANT ce qui doit être la solution.

Valider.
Et je saute l’étape connue…

Résultat.

S={1,51}





Dernière mise à jour le 25/01/2004                               Retour page d'accueil                               Retour menu calculatrices
Par Serge ETIENNE
Email: serge-etienne@wanadoo.fr